注重 “过程”中的教育
——《义务教育数学课程标准》修订的若干思考
史宁中 
史宁中：义务教育数学课程标准修订组组长、东北师范大学校长。本文系作者在第二届中国小学数学教育峰会上的演讲稿，由浙江省杭州市新思维培训中心陈敏老师根据录音整理，有删节。全文经作者本人审校，标题为编者所加。
 
        这次《义务教育数学课程标准》（以下简称《标准》）修订，坚持了教育改革的大方向。在这一基础上，我们做了几个方面的修订：第一，使《标准》更加准确、规范、明了、全面，更适合于教材编写、教师教学、学习评价等；第二，内容上做了适当调整；第三，就是强调了要处理好以下几个关系：过程和结果的关系；学生自主学习和教师讲授的关系；合情推理和演绎推理的关系；生活情境和知识系统性的关系。
        这几个关系非常重要。强调要注重过程了，但是过程和结果之间的关系必须处理好。再有，现在强调学生自主学习，但是它和教师讲授之间是什么关系呢？我们去听了很多课。听了之后有些人回来反映：上课是一锅粥，下了课还是一锅粥。什么意思呢？上课组织学生讨论，讨论很热烈，完了之后，老师没有很好地归纳整理，下课之后学生不明白的问题还是不明白。所以要处理好学生自主学习和教师讲授的关系。还有合情推理和演绎推理之间的关系。如果我们只是讲了一个描述性的事情，那么证明在这里还能起到什么作用呢？这个主要针对初中。还有一个，你强调从生活情境引入，挺好，但是数学自身的系统性怎么办呢？这些关系应该处理好。所以我们很认真地把握这几个关系来修订课程标准。
从总体上讲，十年课改是积极的，也是富有成效的。但是课改的开始阶段是自上而下的，是理论指导实践的。这些理论在中国实践过程中会碰到一些问题，引发大家广泛的思考。因此，十年课程改革是一个实践的过程，也是一个思考的过程，促使大家对数学教育、数学课程以及改革实践产生了一些新的认识。我想，下面几个问题是重要的。
更加关注学生的能力与素养
        第一，对《标准》和《教学大纲》（以下简称《大纲》）区别的认识提高了。这次课程改革一个核心的变化是把《大纲》变成了《标准》。这是一个关键性的问题。过去叫《大纲》，现在为什么叫《标准》了呢？两者之间有什么差别呢？1999年我国完成了最后一个《大纲》的制定，当时我是审定组组长。我回想了一下，那时我特别关注的就两个问题，其一，教什么的问题；其二，掌握到什么程度的问题。考试也是围绕这两件事情来进行的。原来的《大纲》必然地产生了中国数学教育的最大特色，就是“双基”（基础知识和基本技能），要求是基础知识扎实，基本技能熟练，这个我们国家做得非常好。像这次上海参加的 PISA测验，让国外都很吃惊。不管怎么说，“双基”对中国数学教育的贡献是巨大的。这是不可否认的。但是还应该加些什么东西呢？
        我们来看一下《大纲》是怎么一回事。《大纲》是工业化时代为培养专门人才服务的。因此它涉及的内容就是未来一个专门职业对知识技能的要求。在这个意义上，《大纲》的教育理念是“知识为本”——教了多少知识，教到什么程度。知识是什么呢？1998年我提出“知识在本质上是一种结果。可以是经验的结果，可以是思维的结果”。所以以知识为本的教育在本质上是结果性的教育。我们教了一些结果，我们没教智慧。智慧不是结果。从结果怎么能看出一个人的智慧呢？智慧是在过程之中的东西。大家都不知道怎么办了，他出个主意，这个主意好——真聪明！有智慧！在做题的过程中，你看这个孩子真聪明，有智慧。或者做实验，大家都不知道实验该怎么做，他设计的实验很巧，有智慧！智慧是表现在过程之中的。而表现在过程中的东西必须通过过程来教育。所以我们要注重过程中的教育，我们要培养智慧。
        现代社会，是后工业时代，或者叫信息时代，我们不强调培养工匠了，要“以人为本”，因为我们无法在学生读书的阶段就决定这个孩子未来从事什么职业。因此要培养孩子们的能力，发展他们的潜能，这是教育的根本改变。对教育强调的是以人的发展为本，不再以知识为本。2010年公布的《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010- 2020年）》，提出“育人为本”。育人为本的核心就是以人的发展为本，特别强调了我们未来培养的学生要有社会责任感，有创新精神，有实践能力。因此我们不仅要关注学生学了多少知识，掌握了多少技能，还要关注学生能不能成为未来社会的合格公民。教育的根本目的改变了。在知识经济时代，知识总量增加非常迅速，而且传播手法日趋多样。很多学生获得的知识，远远超过了老师在课堂上讲授的，甚至远远超过了教科书的内容，在这种情况下，要进行什么样的教育呢？所以要根本地改变我们的教育。在这样的背景下，《大纲》就变成了《标准》。
        那么《标准》和《大纲》有什么区别呢？如果说《大纲》更加关注孩子们知识和技能的掌握程度，那么《标准》更加重视学生能力的培养和素养的提高。一个人可能将来从事的职业与数学没有直接的关系，但是他为什么还要学习数学呢？他要养成一个数学的素养，这对他一生都是有好处的。我们的基础教育要为学生未来的发展奠基。经过这十年的实践，我想大多数教师在这个理念上都有所改变。但是如果我们曾经的改变是形式上的话，从现在开始，我们要从形式走向实质。
        我对我们现在的中小学数学教材总的来说是不满意的。集中表现在两个地方。第一个，概念的叙述和几十年前完全一样，没有新东西。还有，法则、运算的叙述也和以前完全一样，没有新东西。还是以一个结果的形式呈现，还是让孩子们来背，来记，没有根本性的改变。什么是根本性的改变？你脑袋里一直要想，如何引导孩子们去思考，如何培养孩子们的数学素养。基于此，《标准》在《大纲》的基础上增加了基本思想和基本活动经验。一个学科，你学过之后，对这个学科承载的基本思想不知道的话，等于没学。还有，特别是对数学，思维经验是很重要的。因此，希望孩子们在学习数学的过程中，除了掌握必要的知识和技能之外，还能感悟数学的基本思想，积累数学思维活动和实践活动的经验。这是《标准》提出的很重要的目的。
从“双基”到“四基”有两个理由，首先是教育理念的体现。对数学思想的感悟和经验的积累，这是非常隐性的东西。老师可能会认为，这个东西你教了还是没教，怎么判断呢？思想怎么体现？经验有没有积累，怎么判断呢？关于这件事后面我会举几个例子。但是我们首先要明白，思想的感悟和经验的积累在很大程度上会改变一个人的思维方法。而一个人的思维方法几乎在小学阶段就基本定了。“育人为本”的理念在数学教学中最好的体现就是从“双基”到“四基”。其次是培养创新型人才的要求。是不是创新型人才不仅取决于这个人掌握的知识有多少，在很大程度上，取决于这个人的思维方法。而这个思维方法，需要对学科思想方法的感悟，需要积累学科思维活动的经验。
基本思想与基本经验的积累必须靠感悟
        基本活动经验和基本思想，绝对是在中国这十年课改实践过程中抽象出来的东西。这是我们自己的东西。活动经验，我想主要是思维的经验和实践的经验，不是解题的经验，当然也包括解题的经验、分析问题的经验、解决问题的经验。主要我想强调经验的积累，最终是要培养孩子们一个数学的直观。学科直观是很重要的，数学的所有结果是看出来的，不是证出来的。而要直观，全依赖于思维经验的积累。经验积累我今天不谈了，主要谈一下基本思想。基本思想很多，有数形结合、等量替换等，那么最核心的思想是什么呢？就是学完数学以后，很多数学知识你都忘了之后，你还能留下的东西。这些素养是什么呢？我想大概有两个标准。一个是，数学的产生和发展一直依赖的思想是什么；一个是，学过数学的人和没学过数学的人有什么差异。我觉得这能看出数学的基本思想。我提出一个看法，数学思想主要有三个：一个是抽象，就是把与数学有关的东西引入数学的内部，学过数学的人抽象能力比较强；一个是推理，学过数学的人推理能力比较强；还有一个是模型，学过数学的人应用能力比较强，除了直接计算以外，数学的应用主要是建立模型。
        思想的感悟和经验的积累是隐性的东西，光靠老师讲是不行的，必须自己感悟，是悟出来的东西，不是听出来的东西。因此我们要组织一些教学活动，让学生参与讨论，这是形式，不是目的，这个形式是为了让孩子们自己想问题，为了让他跟同学们讨论，最后逐渐积累一种思维的方法和经验。会想问题是一种经验的积累，不是教会的。所以，学生活动结束之后，老师必须有一个总结。这个总结对老师来说非常难，很多老师总结不出来。让学生谈一个东西，不仅仅谈结果，要谈得到这个结果的思维过程。老师对一个学生答对答错的判断，不仅仅要看结果是对是错，还要看他的思维过程是不是有道理。只要思维过程有道理，可能开始的出发点有错误，但整个思维过程是合乎逻辑的，那也是好的。老师在总结时要把握学生的思维过程，重在教会他们思考问题。几个问题想错了，不要紧，逐渐地会想问题，这是最核心的事情。这是一种经验的积累。我们中国人总是发明创造不够，就是因为我们在小学阶段就把孩子们给教死了。其实孩子们都是挺聪明的。所以我希望从现在开始，教我们的孩子越来越聪明，而不是越来越傻。越来越聪明就是要让他自己想。你鼓励他想，教会他想，在过程中教育。这是很重要的，这是一个根本的转变，对我们老师是巨大的考验。
        2009年，某地组织教学观摩，结束后让我点评，我说：“你们这些课光重视老师怎么讲，怎么讲得精彩，其实老师讲课拙一点不要紧，老师讲课笨一点不要紧，能启发学生思考是最重要的。启发学生思考最好的办法就是和学生一起思考，一步一步地引导学生来思考这个问题。你讲得天花乱坠，孩子们像听故事一样，听完了什么也没留下，这有什么用呢？”所以我们要下一点笨功夫，教孩子们想。这个东西不是马上就能见效的，但是小学6年之后，必然见效。到了六年级，你看孩子们的眼神都不一样，他活，他自信，他会提问题。所以我希望老师们能和校长说一下，别一年一考核，一年之后看不出结果，6年之后再来看，时间长一点，这样才能真正地教出一个人。教研室可以组织老师们讨论，怎么把这一类的课上好。
        大概四五年前，东北师大组织教师培训，我连续给老师们提了10个问题。比如，为什么要先乘除后加减？你们是怎么讲的？他们说规定。第二个问题，回答还是规定，第三个还是规定。那就不行了。一开始规定一两个还行，但是规定多了，孩子都蒙了，不知道怎么回事了。特别是，光讲规定的教学，完全是一种结果的教学。小学数学中的所有规定都是有道理的，是符合人的常理的。因此，你只要稍微改变一下，就能让孩子们学会思考问题。举例子是比较重要的。讲课讲不明白的时候，最好的方法是举例说明。对一个知识是不是理解了呢，最好的办法也是举例说明。老师的脑袋里得有大量例子，随时都能举例子。
        比如，为什么要先乘除后加减？举例说明。操场上原来有3个同学，又走来一队同学，这队同学是2个人一排，共4排，问有多少同学？我们老师讲这样的问题时，一般是直接列式子，这个不好。应该把理给讲出来。最起码这句话一定要讲出来——操场上的同学数：原有同学数+后来同学数。引导孩子从头想问题。养成从头想问题的习惯，他以后就能发现问题了。问题一般都是从头开始发现的，中途发现问题的情况比较少。从头想问题之后，孩子就很少会错了。你看，他脑子里有“操场同学数：原有同学数+后来同学数”这个概念之后，那么自然原来同学有3个，后来同学有8个，2×4=8，所以是3+8=11，这样的话就知道了应该先乘除后加减，为什么呢？因为2× 4表示的是后来的同学。因此在小学数学里，先乘除后加减说的是两件事：2×4是一个故事，3本身是一个故事，和是两个故事相加得到的东西。因此在中国古代这样的问题都是分步做的，我们现在为了省事才放到一块儿。所以，我现在非常强调从头想问题。问题要有一个转换过程，学会先把现实中的问题通过语言抽象，抽象成一个科学的东西，然后在语言抽象的基础上进行符号抽象，抽象成一个数学的东西，这个过程对小孩子是非常重要的。现在举的这个例子很简单，到问题更难一些的时候，你就会更加觉得这个东西重要了。
    与此相对应，过去在《大纲》里谈到两个能力，就是分析问题的能力和解决问题的能力，这次在《标准》中又增加了发现问题的能力和提出问题的能力，这样就从“两能”拓展到了“四能”。
这样，由《大纲》到《标准》有以下几个重要变化：理念的基础是从“知识为本”到“育人为本”；具体的目标要求是从“双基”到“四基”；内容和方法，过去是以结果的形式，现在结果要加过程。这个内容包括教材的呈现和老师讲课的内容。评价由过去单纯的知识技能的评价，加上过程性的评价，加上情感、态度和价值观的评价，变成了三维评价。这几个变化非常重要，老师们可能没有很多时间去详细地看《标准》，但这几个关键性的变化要了然于心。
讲课千万别反复讲，要抓住数学的本质
        第二，就是对数学本身的认识提高了。数学的定义非常多，五花八门，但数学从本质上讲，只研究数量关系和图形关系。因此数学是关于数量关系和图形关系的一门科学，这个定义应该是没有问题的。那么抽象在这里面起什么作用呢？抽象就是把生活中的与数量、图形有关的东西抽象成概念，并用符号表达。比如抽象出自然数，并用十个数字和进位法则表达；抽象出点线面，并用适当的字母进行表达。这样的话，数学所要研究的对象就有了。数学研究的对象是从哪儿来的呢？是从生活中抽象出来的。但是抽象出对象不是根本，主要是抽象出这些概念之间的关系。概念抽象重要，但是关系更重要。比如数中最重要的关系是大小关系，这个关系是从数量里的多少关系抽象出来的。在数量里，3个苹果比2个苹果多，这就抽象出3比2大。点、线、面也是从现实图形中抽象出来的。因此，数学研究的不是某一个具体的存在，不是具体的2头牛，3匹马，而是抽象的存在2和3。数是对数量的抽象，数大小关系是对数量多少关系的抽象。这个抽象是用语言能够表达出来的。你念一、二、三、四、五、六、七、八、九，你怎么说都不要紧，但是你用符号来表征出来时，这里就有一个质的变化。我们小学数学老师要把握这一条，这个事情很重要。
        有些概念性的东西需要专门的理解。比如到了符号表达，一般会比语言表达更难一点。比如，数的符号表达只要抓住两个事情就行。第一，知道0~9这几个数字符号；第二，知道数位。知道这两件事，就能把所有的数都表示出来。这是一件很了不起的事情。只用有限的符号就能把无穷无尽的数都表达出来，这是人们通过几千年的积累才总结出来的。在读数时只需要知道数字和数位就行。
        我听过一节课，整节课都在讲千以内数的读法，末尾有0怎么办，中间有0怎么办，那堂课讲得我非常生气，因为孩子们上课前是兴致勃勃的，听完这节课是垂头丧气的。后来我来讲，我说：你就记住啊：2350，这个2在千位，你就读 2千，百位上是3，你就读3百，十位上是5，就读5十，个位上是0，就读0个。连声来，就读2千3百5十0个。2002就读2千0百0十2个。不错。你要嫌麻烦就读2千零2，不嫌麻烦就读2千0百0十2个，没有错。这堂课就讲完了嘛。讲得简单点，那些不重要的地方别花工夫。孩子小，一节课别讲太多，多了孩子弄不清什么重要什么不重要，他以为你讲的都重要。我们在修订《标准》时甚至都想，一节课，无论如何，10分钟就可以讲完，顶多15分钟。老师一定要精而又精地想好这10分钟，在孩子精力最集中的时候把内容都讲完。剩下的时间，启发他思考，讨论，玩都行。讲课千万别反复讲。还有，孩子们竖式怎么写都行，错了也不要紧，结果对了就行。不要在旁枝末节上提很多要求。旁枝末节上要求多了，他就抓不住本质了。